《数学之美》阅读札记 （二）

秦琳

为什么“十进制”最常用？

   

   这个问题欢迎大家在评论区留下自己的答案：）

   

   作者的答案是：

当然，早期数字并没有书写的形式，而是掰指头，这就是我们今天使用十进制的原因。毫无疑问，如果我们有十二个指头，那今天我们用的一定是十二进制。……我们的祖先很聪明，发明了进位制，也就是我们今天说的逢十进一。这是人类的一大飞跃，因为我们的祖先开始懂得对数量进行编码了，不同的数字代表不同的量。

   我觉得是有道理的。今天的小孩子认识数的概念大多也是从掰手指开始的，而且掰手指做计算题确实方便又快捷。

   手指不够，脚趾来凑。有没有文明采用二十进制？答案是有。而且是大名鼎鼎的玛雅文明——就是那个间接导致“2012世界末日”谣言四起的玛雅文明。

   事实上，玛雅文明的太阳纪以20*20=400年为周期，而2012年是当时那个世纪的最后一年，2013年是新世纪的开始。

   另外，十进制还有个好处：

相比十进制，二十进制有很多不便之处。我们中国人过去即使是不识几个字的人，也能背诵九九表。但是，换成二十进制，要背的可就是19×19的围棋盘了。

   

文字和数字的分道扬镳——阿拉伯数字的出现

   

   十进制有了，怎么表示不同的位呢？

   中国人用十百千万亿兆1，罗马人用字符I代表1，V代表5，X代表10，L代表50，C代表100，D代表500，M代表1 000，再往上就没有了。

   这两种表示法都不自觉地引入了朴素的编码的概念。首先，它们都是用不同的符号代表不同的数字概念；第二，它们分别制定了解码的规则。

   在中国，解码的规则是乘法。200万的写法含义是2×100×10000；而在罗马，解码的规则是加减法—小数字出现在大数字左边为减，右边为加。比如IV表示5–1=4，VII表示5+2=7，IIXX表示20–2=18。这个规则不仅复杂，而且很难描述大的数字和分数。罗马人要写100万的话，恐怕要MMMM……地不断写下去，写满一整块黑板。虽然他们后来发明了在M上用上划线表示一千倍，但是如果要书写10亿的话，还是要写一黑板。

   因此，从编码的有效性来讲，中国人的做法比罗马人高明。

   描述数字最有效的是古印度人，他们发明了包括0在内的10个阿拉伯数字，就是今天全世界通用的数字。

   这种表示方法比中国和罗马的都抽象，但是使用方便。因此，它们由阿拉伯人传入欧洲后，马上得到普及。只是欧洲人并不知道这些数字的真正发明者是印度人，而把功劳给了“二道贩子”阿拉伯人。

   阿拉伯数字或者说印度数字的革命性不仅在于它的简洁有效，而且标志着数字和文字的分离。这在客观上让自然语言的研究和数学在几千年里没有重合的轨迹，而且越走越远。

【1】兆 本身有两个含义：百万和万亿。